正阳门，位于中国北京市中心，是明清时期北京内城的正南门，原名丽正门，后改称正阳门。作为北京城的重要地标之一，正阳门不仅是历史的见证者，也承载着丰富的文化与文物价值。在正阳门附近，曾出土或保存过一些珍贵的历史文物，其中包括宋代的香炉。
北宋时期（960年—1127年）是中国历史上文化艺术高度发展的时期，瓷器、铜器、玉器等工艺品都达到了极高的水平。其中，香炉作为宗教仪式和文人雅士生活中不可或缺的器具，具有极高的艺术价值和收藏价值。
关于“正阳门下北宋香炉”的具体价值，需从多个方面进行分析：
首先，从年代上看，北宋香炉属于古代文物，具有较高的历史价值。尤其是如果该香炉出自官窑或名家之手，其价值将更加突出。
其次，从工艺角度来看，北宋时期的香炉多采用铜、铁、瓷等材质，造型精美，纹饰繁复，体现了当时高超的铸造和雕刻技艺。特别是宋代的青瓷香炉，以其釉色温润、造型典雅而著称，深受后世喜爱。
再次，从市场价值来看，古代文物的价格受多种因素影响，包括器型、纹饰、保存状况、来源等。若一件北宋香炉保存完好，且有明确的出处或考古背景，其市场价值可能高达数百万甚至上千万元人民币。
然而，“正阳门下北宋香炉”这一说法并不常见于正式的历史文献或考古报告中。因此，是否真有此类香炉存在，以及其具体价值如何，仍需进一步考证。目前，北京地区保存的宋代文物较为有限，多数宋代文物已流失海外或藏于各大博物馆。
综上所述，“正阳门下北宋香炉”的价值取决于其真实性、保存状况及艺术水平。若确为宋代真品，其历史与艺术价值不可估量，但具体价格需由专业鉴定机构评估。对于普通收藏者而言，应谨慎对待古董交易，避免因信息不对称而造成损失。